Vertaling van "you have serious reasons to believe that someone did something illegal " (Engels → Frans) :

You don't need to have a reason to believe, you don't need any inkling of evidence that might lead to the fact that this person is trying to do something illegal or improper.
On n'a pas besoin d'avoir une raison de croire, ni le plus petit élément de preuve qui pourrait témoigner du fait que cette personne essaie de faire quelque chose d'illégal ou d'inapproprié.

I believe that there are, and in this I share the opinion of my fellow Member Mrs in 't Veld, but I also believe that this resolution should be backed for two important reasons: the first is that we have the opportunity to act before something serious happens.
Je pense qu’il y en a, et en cela je partage l’avis de ma collègue Mme in ’t Veld, mais je pense aussi que cette résolution devrait être soutenue pour deux raisons importantes: la première est que nous avons la possibilité d’agir avant que quelque chose de grave n’arrive.

Did you at any time have reason to believe that something was fishy within the Communications Coordination Services Branch?
Avez-vous eu des raisons de croire, à un moment donné, que quelque chose ne sentait pas bon dans la Direction générale des services de coordination des communications?

Now it recommends “the new best tool in the world”, as our Prime Minister would say, to its fishery officers, saying “Now, you must have a phone because that is the way that, at the international level, it was decided to proceed when you want to board and inspect a boat or when you have serious reasons to believe that someone did something illegal with regard to fishing”.
Il recommande maintenant «le nouveau meilleur outil du monde» comme dirait notre premier ministre, à ses officiers des pêches en disant: «Maintenant, vous devrez avoir un téléphone, parce que c'est ainsi qu'au niveau international, on a décidé de procéder lorsqu'on veut faire des arraisonnements ou lorsqu'on a des raisons sérieuses de croire que quelqu'un a fait un geste illégal en matière de pêcheries».